こんにちは。シングル・ワーキングママのぽんちゃんです。
小５の子どもが塾に通って、ゆる～く中学受験の準備をしています。
今回は算数の計算問題で、子どもが「わからな～い。ママ教えて～。」と言ってきた「等差数列」と「等比数列」の和についてのお話です。
- はじめに～大人の私にもむずかしい数列さんたち～
- 等差数列って何？等比数列って何？
- 等差数列はこんな感じ
- 等比数列はむずかしいぞ☆
- 等比数列の和の応用編 ～分数でやってみよう！～
- これで数列の計算はカンペキ！？
はじめに～大人の私にもむずかしい数列さんたち～
私も、大昔ですが一応、中学受験を経験したので、なんとな～く「等差数列の和」のやり方は覚えていました。
しかし、「等比数列の和」ってなんだっけ！？
けっこう小学生には難しいのでは！？
やばい、大人の私にもよくわからない（＾＾；）
ということで、ネットやテキストやらをいろいろ調べて、なんとか子どもに解説できるところまでたどりつきました！
ちなみに「等比数列の和」をネットで検索すると、高校の数学の問題としてけっこう出てきています。が、公式としてよく紹介されているものは、まだ小学生ではやっていない記号やらが出てきて、とてもチビッコたちには無理です。
もしや、私のようにお子さんに聞かれてこまっている、お父さん、お母さん、さらには、おじいちゃん、おばあちゃんもいるのでは、と思い、ブログに書くことにしました。
等差数列って何？等比数列って何？
大人のみなさま、覚えていらっしゃるでしょうか。等差数列と等比数列を。
等差数列は、「１，３，５，７，９」のように、となり合う２つの数字の差の大きさが一定の数列です。
この場合、差は２で、左から右にかけて「＋２」ずつ数が大きくなっています。
一方、等比数列は、「２，４，８，１６，３２」のように、となり合う２つの数字の比が等しいものです（ゆるい説明ですみません）。
この数列の場合、左から右に「×２」ずつ数字が大きくなっていっています。
小学生さんたちには、まず、それぞれの数列の規則をみつけてもらうのがファースト・ステップですね。
等差数列か、等比数列か、はたまた、群数列のような別の数列か。
等差数列でも、「＋２」で大きくなっているのか、「－３」で小さくなっているのか？などなど。。。
等差数列はこんな感じ
さあ、ここで問題です！
つぎの数列について答えなさい。
２，５，８，１１，１４，１７・・・
①はじめの数から数えて１０番目の数はなんですか？
②はじめの数から数えて１０番目までの数をすべて足すといくつになりますか？
このあたりが簡単な問題として出てくるかと思います。。。
私にはすでに、けっこうむずかしいですが。。。
①はじめの数から数えて１０番目の数はなんですか？
ちょっと実際に書き出してみます。
①番目・・・２
②番目・・・２＋３ ⇒２＋３×１
③番目・・・２＋３＋３⇒２＋３×２
① ② ③
このアンダーラインの数が、〇番目の〇より１つ小さい☆
だって、最初の「２」が１番目だもんね☆
この規則性がわかればしめたもの。
１０番目は・・・２＋３×９
１０番目の、「１０」－１＝９ です。
ということで、１０番目の数は、
２＋３×９＝２９ になります。
②はじめの数から１０番目までの数をすべて足すといくつになりますか？
これは、数列をひっくり返して足します！
どういうことかというと・・・
普通の順序の数列は
２＋ ５・・・２６＋２９
＜ひっくり返したものを足す＞
＋２９＋２６・・・５ ＋ ２
３１＋３１・・３１ ＋３１
① ② ・・ ⑨ ⑩
上と下を足すと、みんな「３１」になる！
このように、「３１」のセットが①～⑩まで１０セットできるわけです。
だから、はじめの数から数えて１０番目の数までの合計は、
（２＋２９）×１０÷２
＝１５５
になります。
ここでのポントは、「÷２」を忘れない！ということです。
「もともとの数列」＋「ひっくり返した数列」と２つの数列を足しているので、２で割ることになります。
うちの子は、よくこの「÷２」を忘れます。
掛け算までしたら安心して、できた気になっちゃうんでしょうね・・・とほほ。
分数の問題もよくみかけますが、基本的にやり方は一緒です。
等比数列はむずかしいぞ☆
では、いよいよ、等比数列にいきましょう。
等比数列については、「〇番目の数はなんですか？」という問題は、いまのところあまりみかけないので、いきなり 等比数列の和 にいっちゃいます！
またまた問題です。
３＋６＋１２＋２４＋４８＋９６
＋１９２＝？
これは、左から右に「×２」で数字が大きくなっていく、等比数列です。
短めの数列にしてみました。
が、短いからといって、力まかせに足し算してはダメ！です。
さらに足す数字が多くなったときに、対応できません。
等比数列の和 のポイントは、
ずらして引く！ です。
どういうことかというと・・・
もともとの数列全体を ★ とします。
この数列は、数字が左から右に
「×２」で大きくなっているので、
★×２の数列をつくります。
そして、その数字を上と下の数字が重なるようにずらしてみます。
★
３＋６＋１２＋２４+４８+９６+192
★×２
６＋１２＋２４＋４８＋９６＋192＋384
こんな感じ☆
そして、（★×２）－★＝★
これが求める答えですが、アンダーラインの部分が同じなので、引き算をするとそこはすべて消え、結局、はしっこの「３」と「３８４」だけが残り、
３８４－３＝３８１
となります。
ちなみに、左から右に「×３」で大きくなっていく数列だと、
★×３ の式をつくり、
★×３ー★＝★×２なので、ずらして引いた後、「２」でわります。
等比数列の和の応用編 ～分数でやってみよう！～
次は、分数でやってみましょう。
1/2 ＋ 1/4 ＋ 1/8 ＋ 1/16 ＋ 1/32＝？
これは 左の数「×1/2」⇒ 右の数 の等比数列です。
★ ⇒ 1/2 ＋ 1/4 ＋ 1/8 ＋ 1/16 ＋ 1/32
★×1/2 ⇒ 1/4 ＋ 1/8 ＋ 1/16 ＋ 1/32 ＋1/64
★ー★×1/2 = ★×1/2
つまり、
1/2 ー 1/64
=31 / 64 （これが★の２分の１）
となり、
★は 31 / 64 ×２＝31/32
となります！
パチパチパチ！拍手～！
これで数列の計算はカンペキ！？
中学受験において計算問題は、時間をかけず、ミスせず、要領をかまして、さくさくっとするものです。
時間は難しい後の問題にとっておきましょう。
もたもた、地道にやっている暇はありません。
小学生さんたち、計算のやり方を、ただやみくもに覚えるのではなく、なぜ、そうするのかというところも含めて理解し、満点ゲットだぜ☆
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