シングル&ワーキングママのぽんちゃん日記

シングル、ワーキングママの情報発信ブログ。日々の生活、中学受験や資格取得のお話しなど。

【等差数列の和と等比数列の和】小学生が解く!中学受験の算数

こんにちは。シングル・ワーキングママのぽんちゃんです。

 

小5の子どもが塾に通って、ゆる~く中学受験の準備をしています。

今回は算数の計算問題で、子どもが「わからな~い。ママ教えて~。」と言ってきた「等差数列」と「等比数列」の和についてのお話です。

 

 

はじめに~大人の私にもむずかしい数列さんたち~

私も、大昔ですが一応、中学受験を経験したので、なんとな~く「等差数列の和」のやり方は覚えていました。

しかし、「等比数列の和」ってなんだっけ!? 

けっこう小学生には難しいのでは!? 

やばい、大人の私にもよくわからない(^^;)

ということで、ネットやテキストやらをいろいろ調べて、なんとか子どもに解説できるところまでたどりつきました!

 

ちなみに「等比数列の和」をネットで検索すると、高校の数学の問題としてけっこう出てきています。が、公式としてよく紹介されているものは、まだ小学生ではやっていない記号やらが出てきて、とてもチビッコたちには無理です。

 

もしや、私のようにお子さんに聞かれてこまっている、お父さん、お母さん、さらには、おじいちゃん、おばあちゃんもいるのでは、と思い、ブログに書くことにしました。

f:id:ponchan-club:20190703013051p:plain

等差数列って何?等比数列って何?

大人のみなさま、覚えていらっしゃるでしょうか。等差数列と等比数列を。

 

等差数列は、「1,3,5,7,9」のように、となり合う2つの数字の差の大きさが一定の数列です。

この場合、差は2で、左から右にかけて「+2」ずつ数が大きくなっています。

 

一方、等比数列は、「2,4,8,16,32」のように、となり合う2つの数字の比が等しいものです(ゆるい説明ですみません)。

この数列の場合、左から右に「×2」ずつ数字が大きくなっていっています。

 

小学生さんたちには、まず、それぞれの数列の規則をみつけてもらうのがファースト・ステップですね。

等差数列か、等比数列か、はたまた、群数列のような別の数列か。

等差数列でも、「+2」で大きくなっているのか、「-3」で小さくなっているのか?などなど。。。

等差数列はこんな感じ

さあ、ここで問題です!

つぎの数列について答えなさい。

2,5,8,11,14,17・・・

①はじめの数から数えて10番目の数はなんですか?

②はじめの数から数えて10番目までの数をすべて足すといくつになりますか?

 

このあたりが簡単な問題として出てくるかと思います。。。

私にはすでに、けっこうむずかしいですが。。。

①はじめの数から数えて10番目の数はなんですか?

ちょっと実際に書き出してみます。

 

①番目・・・2

②番目・・・2+3 ⇒2+3×

③番目・・・2+3+3⇒2+3×

     ① ② ③        

このアンダーラインの数が、〇番目の〇より1つ小さい☆

だって、最初の「2」が1番目だもんね☆

 

この規則性がわかればしめたもの。

 

10番目は・・・2+3×

             

10番目の、「10」-1=9 です。

ということで、10番目の数は、

2+3×9=29 になります。

 

②はじめの数から10番目までの数をすべて足すといくつになりますか?

これは、数列をひっくり返して足します!

 

どういうことかというと・・・

 

   普通の順序の数列は

   

  2+ 5・・・26+29 

  <ひっくり返したものを足す>

29+26・・・5 + 2  

 31+31・・31 +31 

 ①  ②  ・・ ⑨  ⑩

      

上と下を足すと、みんな「31」になる!

 

このように、「31」のセットが①~⑩まで10セットできるわけです。

だから、はじめの数から数えて10番目の数までの合計は、

 

(2+29)×10÷2

 =155

になります。

ここでのポントは、「÷2」を忘れない!ということです。

「もともとの数列」+「ひっくり返した数列」と2つの数列を足しているので、2で割ることになります。

うちの子は、よくこの「÷2」を忘れます。

掛け算までしたら安心して、できた気になっちゃうんでしょうね・・・とほほ。

分数の問題もよくみかけますが、基本的にやり方は一緒です。

f:id:ponchan-club:20190703012655p:plain

 

等比数列はむずかしいぞ☆

では、いよいよ、等比数列にいきましょう。

等比数列については、「〇番目の数はなんですか?」という問題は、いまのところあまりみかけないので、いきなり 等比数列の和 にいっちゃいます!

 

またまた問題です。

3+6+12+24+48+96

+192=?

 

これは、左から右に「×2」で数字が大きくなっていく、等比数列です。

短めの数列にしてみました。

が、短いからといって、力まかせに足し算してはダメ!です。

さらに足す数字が多くなったときに、対応できません。

 

等比数列の和 のポイントは、

ずらして引く! です。

 

どういうことかというと・・・

もともとの数列全体を ★ とします。

この数列は、数字が左から右に 

「×2」で大きくなっているので、

★×2の数列をつくります。

そして、その数字を上と下の数字が重なるようにずらしてみます。

 

★ 

6+12+24+48+96+192 

★×2 

6+12+24+48+96+192384

 

こんな感じ☆

 

そして、(★×2)-★=★

        

これが求める答えですが、アンダーラインの部分が同じなので、引き算をするとそこはすべて消え、結局、はしっこの「3」と「384」だけが残り、 

384-3=381 

となります。

 

ちなみに、左から右に「×3」で大きくなっていく数列だと、

★×3 の式をつくり、

★×3ー★=★×なので、ずらして引いた後、「」でわります。

 

等比数列の和の応用編 ~分数でやってみよう!~

次は、分数でやってみましょう。

 

1/2 + 1/4  + 1/8  + 1/16 +  1/32=?

これは 左の数「×1/2」⇒ 右の数 の等比数列です。

 

★  ⇒ 1/2 + 1/4  + 1/8  + 1/16 +  1/32

★×1/2 ⇒   1/4  + 1/8  + 1/16 +  1/32  +1/64

 

★ー★×1/2 =  ★×1/2

    つまり、

 1/2  ー 1/64 

  =31 / 64   (これが★の2分の1) 

    となり、

★は 31 / 64  ×2=31/32

となります!

 

パチパチパチ!拍手~!

f:id:ponchan-club:20190703013320p:plain

 

これで数列の計算はカンペキ!?

中学受験において計算問題は、時間をかけず、ミスせず、要領をかまして、さくさくっとするものです。

時間は難しい後の問題にとっておきましょう。

もたもた、地道にやっている暇はありません。

 

小学生さんたち、計算のやり方を、ただやみくもに覚えるのではなく、なぜ、そうするのかというところも含めて理解し、満点ゲットだぜ☆